Modellizzazione stocastica compartimentale a tempo discreto (DTMC): dinamiche finite, spazio degli stati invariante, assorbimento quasi certo e convergenza al limite fluido continuo.
Formalizzazione su spazio finito \(E\), indipendenza condizionata delle estrazioni binomiali e forma canonica a blocchi.
Definito sullo spazio di probabilità \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\), il processo \(\{X_t\}_{t \in \mathbb{N}_0}\) con \(X_t = (S_t, I_t, R_t)\) evolve sullo spazio degli stati:
Il passo \(X_t \to X_{t+1}\) è generato da due variabili binomiali condizionatamente indipendenti: \[C_t \mid X_t \sim \text{Bin}\left(S_t, \frac{\beta I_t}{N}\right), \quad G_t \mid X_t \sim \text{Bin}(I_t, \gamma)\] \[S_{t+1} = S_t - C_t, \quad I_{t+1} = I_t + C_t - G_t, \quad R_{t+1} = R_t + G_t\] La probabilità di transizione congiunta \(P(x, y) = \mathbb{P}(X_{t+1}=y \mid X_t=x)\) per \(y=(s-c, i+c-g, r+g)\) è: \[P(x, y) = \binom{s}{c}\left(\frac{\beta i}{N}\right)^c \left(1-\frac{\beta i}{N}\right)^{s-c} \cdot \binom{i}{g}\gamma^g (1-\gamma)^{i-g}\]
Partizione in stati transitori \(\mathcal{T} = \{i > 0\}\) (\(d_T = 6\)) e assorbenti \(\mathcal{A} = \{i = 0\}\) (\(d_A = 4\)). La matrice è in forma canonica: \[P = \begin{pmatrix} Q & R \\ 0 & I_{|\mathcal{A}|} \end{pmatrix}\]
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• Celle Blu Scuro (\(1.00^*\)): stati assorbenti con permanenza certa \(P_{ii}=1.0\).
• Aree Bianche (\(0.00\)): transizioni impossibili per la monotonicità di \(R_t\) (\(R_{t+1} \ge R_t\)).
Dinamica del drift locale \(\mathbb{E}[\Delta I_t \mid \mathcal{F}_t]\), rumore demografico e convergenza della media campionaria.
Il drift locale del compartimento infetti è: \[\mathbb{E}[\Delta I_t \mid \mathcal{F}_t] = \mathbb{E}[C_t - G_t \mid \mathcal{F}_t] = I_t \left( \beta \frac{S_t}{N} - \gamma \right) = \gamma I_t \left( R_0 \frac{S_t}{N} - 1 \right)\] Per la scomposizione di Doob, \(I_t = I_0 + M_t + A_t\), dove \(M_t\) è una martingala locale a media nulla e \(A_t\) è il compensatore deterministico prevedibile.
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Traiettoria benchmark: latenza iniziale fino a \(t=50\), picco a \(18\) infetti a \(t=78\), assorbimento a \(\tau=124\) in \((17,0,83)\).
Per la Legge Forte dei Grandi Numeri, lo stimatore Monte Carlo converge puntualmente: \[\bar{X}_M(t) = \frac{1}{M}\sum_{m=1}^M X_t^{(m)} \xrightarrow[M \to \infty]{\text{q.c.}} \mathbb{E}[X_t]\]
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Le fasce ombreggiate indicano le bande di dispersione \(\pm 1\sigma(t)\). La varianza è massima nella finestra \(t \in [20, 35]\) per via delle fluttuazioni stocastiche nei tempi di contagio.
Teorema funzionale di convergenza asintotica per \(N \to \infty\) e desincronizzazione a taglia finita.
Definita la frazione normalizzata \(x^{(N)}(t) = \frac{X_t}{N} = (s(t), i(t), r(t))\), per \(N \to \infty\) si ha:
dove \(x(t)\) è la soluzione unica del sistema di Kermack-McKendrick (1927):
\[\frac{ds}{dt} = -\beta s i, \quad \frac{di}{dt} = \beta s i - \gamma i, \quad \frac{dr}{dt} = \gamma i\]
• Picco ODE Deterministico: picco continuo a \(\approx 18.3\%\) (\(t \approx 26\)).
• Media Campionaria MC: picco medio a \(\approx 16.4\%\). La differenza è dovuta alla desincronizzazione temporale tra singole traiettorie (la media di curve sfasate nel tempo risulta più piatta del picco istantaneo medio).
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Accordo asintotico perfetto in fase iniziale (\(t < 10\)) e in coda (\(t > 80\)). La curva stocastica cattura in modo esatto l'estinzione finita che le ODE non possono descrivere.
Risoluzione analitica del sistema lineare \((I-Q)\mathbf{t} = \mathbf{1}\), orbita analitica \(I(S)\) ed equazione trascendente di \(R_\infty\).
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Eliminando il tempo (\(\frac{di}{ds} = -1 + \frac{1}{R_0 s}\)), l'orbita analitica è: \[I(S) = I_0 + (S_0 - S) + \frac{N}{R_0}\ln\left(\frac{S}{S_0}\right)\] Il massimo avviene rigorosamente alla soglia critica: \[\frac{dI}{dS} = 0 \iff S^* = \frac{N}{R_0} = \frac{100}{2} = 50\]
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Per la First-Step Analysis, il tempo medio \(\mathbf{t} = (\mathbb{E}_i[\tau])_{i \in \mathcal{T}}\) risolve: \[\mathbf{t} = \mathbf{1} + Q\mathbf{t} \iff (I - Q)\mathbf{t} = \mathbf{1}\] Media empirica su 1000 run: \(\bar{\tau} = 86.67 \pm 25.83\) passi con distribuzione asimmetrica a destra.
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La frazione finale asintotica \(r_\infty = \lim_{t\to\infty} \frac{R_t}{N}\) soddisfa l'equazione trascendente: \[1 - r_\infty - s_0 e^{-R_0 r_\infty} = 0 \implies r_\infty \approx 79.7\%\] Media MC: \(\bar{R}_\infty \approx 76.6\%\) (con estinzioni precoci a \(R \le 15\)).
Simula l'evoluzione in tempo reale manipolando i parametri epidemiologici fondamentali.